1. Crie um grupo chamado tomcat:

sudo groupadd tomcat

2. Crie um usuário tomcat:

sudo useradd -s /bin/false -g tomcat -d /var/lib/tomcat8 tomcat

3. Acesse a pasta home do usuário e faça download do Tomcat 8:

cd ~
wget http://ftp.unicamp.br/pub/apache/tomcat/tomcat-8/v8.5.15/bin/apache-tomcat-8.5.15.tar.gz

4. Crie a pasta de instalação e faça a extração do pacote:

sudo mkdir /var/lib/tomcat8
sudo tar xvf apache-tomcat-8*tar.gz -C /var/lib/tomcat8 --strip-components=1

5. Atualize as permissões:

cd /var/lib
sudo chown -R tomcat:tomcat tomcat8/
cd /var/lib/tomcat8
sudo chgrp -R tomcat conf
sudo chmod g+rwx conf
sudo chmod g+r conf/*
sudo chown -R tomcat work/ temp/ logs/

6. Crie o script de upstart:

sudo vi /etc/init/tomcat8.conf

7. Insira o seguinte conteúdo no arquivo:

description "Tomcat Server"

  start on runlevel [2345]
  stop on runlevel [!2345]
  respawn
  respawn limit 10 5

  setuid tomcat
  setgid tomcat

  env JAVA_HOME=/usr/lib/jvm/java-8-openjdk-amd64/jre
  env CATALINA_HOME=/var/lib/tomcat8

  # Modify these options as needed
  env JAVA_OPTS="-Djava.awt.headless=true -Djava.security.egd=file:/dev/./urandom"
  env CATALINA_OPTS="-Xms8192M -Xmx16384M -server -XX:+UseParallelGC"

  exec $CATALINA_HOME/bin/catalina.sh run

  # cleanup temp directory after stop
  post-stop script
    rm -rf $CATALINA_HOME/temp/*
  end script

8. Salve e feche o arquivo.

9. Reinicie a configuração do upstart:

sudo initctl reload-configuration

10. Para iniciar o Tomcat utilize o seguinte comando:

sudo initctl start tomcat8

11. Abra o arquivo tomcat-users.xml:

sudo vi /var/lib/tomcat8/conf/tomcat-users.xml

12. Dentro de tomcat-users insira a seguinte linha (Importante: no atributo password insira uma senha segura):

<user username="admin" password="senha" roles="manager-gui,admin-gui"/>

13. Salve e feche o arquivo.

14. Reinicie o Tomcat:

sudo initctl restart tomcat8